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By F. Diener, G. Reeb

ISBN-10: 2705661093

ISBN-13: 9782705661090

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Mulligan's Western circus-his troop, lion and elephant-arrive on the town lower than the escort of fortunate Luke. Zilch, a wealthy businessman and organizer of the yearly grand rodeo, thinks the circus goes to compete together with his company and attempts every thing to maintain it from placing on a convey. He even engages killer-for-hire Rattlesnake Joe, yet after all his makes an attempt will supply unforeseen exposure for the circus.

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Example text

P uisque A e st rel ativement comp act (r esp . compact) , A e st born é A étant standard , borné par un s tandard . En d 'au tres t ermes : et donc , En pa rti culier tout é lément de A e st limité. Si de plus , A est compact, son com plémen taire Ac dans R est D'où : V81yEAc 3s>0 B(y,s)CAc ouvert. Don c, s 'il existait xEA tel que 0X E Ac, on aurait par tran sfert Mais , comme � x:::: 0X, il en r ésulte que xE Ac, ce qui est absurde . Réciproquement , si tout élément de A possède u ne ombre, A est borné car il exis te N, tel que A C [-N, +N] : il su ffit de choisir N ill imité .

D ) s{f: R --+ R 1 v•'z Vy z::::: y=> f(:r)::::: f(y)} = C(R,R), o ù C(R,R) désigne 1 'ensemble des fonctions continues de R dans R. Exercice : ( t: ::::: 0 p ositif) : Trouver les standardisés des sou s ens embles suivants d e R ] - 1 + ê, 1 - ê[ ] - 1 - é, 1 + é[ {q + é 1 q E Q} {né 1 n � 100} {(un)n�O 1 3•'1 Vw:::::+oo Uw::=:l} Remarque : (Principe de définition standard-externe) L'un des usages couran ts du prin cipe d e standardisa tion es t le suivant supposons qu 'on cherche à définir une nouvelle notion, di so n s pour fixer l es i d ée s, la con tinuité pour l es fonctions de R d an s R.

En e ffet, il suffit de pose r pour tout xE E, m(x) idéalisation , il vient donc : = mi n { ! ( x ) 1 fEz}. Par 3p EA V'tfEA VxE E JJ(x)::; f(x). 0 Exercices : 1) Montrer qu 'une microjauge est infinitésimale en tout point deE. 2) Mont rer que, réciproquemen t, une fonction de R dans R infinitésimale ( et strictement positive ) n 'est pas nécessairement une microj auge. 2 Applicat ions à l'analyse élément aire Le théorème de Nelson es t souvent utilisé dans les applications pour disc ré tiser certains processus con tinus.

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Analyse non standard by F. Diener, G. Reeb


by Steven
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