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By Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane Tammer Page, search results, Learn about Author Central, Christiane Tammer,

ISBN-10: 3835101331

ISBN-13: 9783835101333

In diesem Lehrbuch werden die f?r die Wirtschaftsmathematik, insbesondere f?r die Optimierungstheorie, Stochastik und Numerik, erforderlichen Grundlagen der Funktionalanalysis in einer anschaulichen shape mit Bez?gen zu den entsprechenden Anwendungen in jedem Kapitel dargestellt. Dabei wird eine Untergliederung entsprechend der f?r die Wirtschaftsmathematik relevanten Haupts?tze der Funktionalanalysis, wie Baire's Kategoriesatz, Approximations- und Projektionssatz, Hahn-Banach-Theorem, Fixpunktaussagen und KKM-Theorem und Variationsprinzipien, vorgenommen.

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Dies folgt (aus der Stetigkeit des Skalarprodukts und) aus x−xj 2 = 2Re x, x − x j + x j 2 − x 2. h. aus xn − x → 0 folgt xn → x (vgl. 18), und norm-konvergente Folgen sind beschränkt (es ist bei gegebenem ε > 0 für hinreichend große n : xn = xn −x0 +x0 ≤ xn −x0 + x0 ≤ ε + x0 ). 7 Es sei (X, · ) ein normierter Raum und {xn } eine Folge aus X, die gegen das Element x schwach konvergiert. ), m. a. , jede schwach konvergente Folge ist beschränkt. Der Beweis des Satzes nutzt den Satz von Banach-Steinhaus (vgl.

5)) x∗ (x) = b (x ∈ C[a, b]) x(t)dt a ist stetig. Wir beweisen dies durch Berechnung seiner Norm |x∗ (x)| = = b | a b a b x(t)dt| ≤ a x dt = x |x(t)|dt ≤ b a b sup |x(t)|dt a a≤t≤b dt = (b − a) x (x ∈ X). Folglich ist x∗ ∗ ≤ b − a. Für die Funktion x(t) = 1 (a ≤ t ≤ b) gilt x = 1 und |x∗ (x)| = | ab 1dt| = b − a, und somit x∗ ∗ = sup x ≤1 |x∗ (x)| ≥ b−a(= |x∗ (x)|). Insgesamt erhalten wir die Beziehung x∗ ∗ = b−a. 7 Es seien X = L2 [a, b] mit der Norm x L2 = { ab |x(t)|2 dt}1/2 versehen und y(·) ∈ L2 [a, b].

Ist x∗ das Null-Funktional, so ist y = 0. Ist x∗ = 0, so betrachte man die Menge E = {x ∈ H | x∗ (x) = 0} und ihr orthogonales Komplement E ⊥ := {v ∈ H | v|x = 0 (x ∈ E)}. Diese Menge E ⊥ ist eindimensional. Wären zwei linear unabhängige Elemente z1 , z2 in E ⊥ , so würde folgen z := x∗ (z2 )z1 − x∗ (z1 )z2 ∈ E ⊥ . Wegen x∗ (z) = 0 gilt z ∈ E, daher (vgl. 30)) ist z = 0, ein Widerspruch. Mit einem erzeugenden Element von E ⊥ (hier versteckt sich der Projektionssatz) lassen sich die Behauptungen beweisen (Aufgabe für den Leser).

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by Anthony
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